Konsep Dan Pola Soal Elastisitas Dan Aturan Hooke - Fisika Sma Kelas 11
1. Pengertian Elastisitas dan Hukum Hooke
Jika ada suatu benda ditarik oleh gaya $F$ (dalam pola pada gambar di atas merupakan gaya berat $w$), maka akan terjadi pertambahan panjang sebesar $\Delta l$. Fenomena tersebut sudah didapatkan oleh Robert Hooke. Selanjutnya, Hooke menerima bahwa hubungan $F$ dan $\Delta l$ linier dengan konstanta $k$ yang kemudian dinyatakan dalam Hukum Hooke:
$F=k\cdot \Delta l$
Dalam kawasan hubungan linier tersebut, benda sanggup kembali ke ukuran atau bentuk semula sehabis gaya tidak lagi bekerja. Inilah yang disebut selaku kawasan lentur dari suatu bahan. Selanjutnya kalau ditarik terus dengan gaya $F$, ternyata benda tersebut meraih suatu kawasan yang ternyata sudah tidak dapat kembali ke bentuk semula, inilah yang dimaksud kawasan sifat plastis bahan. Dan kalau ditarik terus, maka benda tersebut akan meraih titik patah atau breaking point.
Pada Hukum Hooke, nilai $k$ juga bisa disebut selaku konstanta elastisitas materi dan kalau pada problem pegas, nilai $k$ juga disebut selaku konstanta pegas.
2. Tegangan dan Regangan
Pada gambar di atas ada suatu benda sepanjang ${{l}_{o}}$ dan memiliki luas penampang $A$ di saat ditarik gaya $F$ (Gambar a) dan di saat benda ditekan dengan gaya $F$ (Gambar b). Benda tersebut mengalami pertambahan panjang (Gambar a) dan mengalami pemampatan (Gambar b) masing-masing sebesar $\Delta l$. Intinya terjadi pergantian panjang sebesar $\Delta l$ pada benda kalau dikenai gaya $F$.
Nah, gaya $F$ yang melakukan pekerjaan pada penampang seluas $A$ disebut selaku tegangan (stress) $\sigma $ dengan persamaan:
$\sigma =\frac{F}{A}$
Selanjutnya terjadi pergantian panjang $\Delta l$ dari benda sepanjang ${{l}_{o}}$ kalau terjadi tegangan pada benda, yang disebut selaku regangan (strain) $\varepsilon $, dengan persamaan:
$\varepsilon =\frac{\Delta l}{{{l}_{o}}}$
Makara tegangan yang melakukan pekerjaan pada suatu benda besar lengan berkuasa kepada regangan benda tersebut.
3. Modulus Young atau Modulus Elastisitas
Perbandingan antara tegangan dan regangan pada suatu benda disebut selaku modulus Young $E$. Nilai modulus Young bergantung pada jenis materi benda tersebut. Berikut ini persamaan untuk menyeleksi modulus Young dari suatu bahan:$\begin{align}
& E=\frac{\sigma }{\varepsilon } \\
& E=\frac{{}^{F}/{}_{A}}{{}^{\Delta l}/{}_{{{l}_{o}}}} \\
& E=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l} \\
\end{align}$
Nilai modulus Young $E$ juga bermitra dengan konstanta elastisitas $k$ suatu bahan. Coba kita cari relevansinya dari analisis persamaan persamaan Hukum Hooke dan persamaan hubungan modulus Young, tegangan, dan regangan.
Sudah kita ketahui bahwa $F=k\cdot \Delta l$ dan nilai $E=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l}$. Jika kita substitusi nilai $k$ ke dalam nilai $E$, maka di temukan hubungan berikut:
$\begin{align}
& E=\frac{(k\cdot \Delta l)\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l} \\
& E=\frac{k\cdot {{l}_{o}}}{A} \\
\end{align}$
Berdasarkan nilai tersebut, kita temukan nilai konstanta elastisitas berikut ini:
$k=\frac{A}{{{l}_{o}}}E$
Contoh Soal Elastisitas dan Hukum Hooke
(1). Sebuah kawat baja sepanjang 1,6 m memiliki diameter 0,2 cm. Jika kawat tersebut meregang 0,25 cm di saat ditarik suatu gaya, maka besar gaya tegangan pada kawat tersebut adalah...(modulus Young kawat baja merupakan $2\times {{10}^{11}}{N}/{{{m}^{2}}}\;$) Jawab:
$\begin{align}
& E=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l} \\
& F=\frac{\Delta l}{{{l}_{o}}}\cdot E\cdot A \\
\end{align}$
Dengan luas penampang berupa lingkaran, maka:
$A=\pi \cdot {{r}^{2}}=3,14\cdot {{({{10}^{-3}}m)}^{2}}=3,14\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}$
Selanjutnya nilai A kita substitusikan untuk mencari nilai $F$ berikut ini:
$\begin{align}
& F=\frac{0,0025m}{1,6m}\cdot 2\times {{10}^{11}}{N}/{{{m}^{2}}}\;\cdot (3,14\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}) \\
& F=980N \\
\end{align}$
$\begin{align}
& E=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{A\cdot \Delta l} \\
& F=\frac{\Delta l}{{{l}_{o}}}\cdot E\cdot A \\
\end{align}$
Dengan luas penampang berupa lingkaran, maka:
$A=\pi \cdot {{r}^{2}}=3,14\cdot {{({{10}^{-3}}m)}^{2}}=3,14\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}$
Selanjutnya nilai A kita substitusikan untuk mencari nilai $F$ berikut ini:
$\begin{align}
& F=\frac{0,0025m}{1,6m}\cdot 2\times {{10}^{11}}{N}/{{{m}^{2}}}\;\cdot (3,14\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}) \\
& F=980N \\
\end{align}$
(2). Dua buah kawat baja memiliki panjang yang serupa dan sedang mengalami gaya tegang yang serupa pula. Tetapi, diameter kawat A dua kali dari diameter kawat B. Perbandingan pertambahan panjang kawat A dan kawat B adalah...
Jawab:
Karena dua buah kawat sama-sama yang dibikin dari baja, maka
$\begin{align}
& {{E}_{1}}={{E}_{2}} \\
& \frac{F\cdot {{l}_{o}}}{{{A}_{1}}\cdot \Delta {{l}_{1}}}=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{{{A}_{2}}\cdot \Delta {{l}_{2}}} \\
\end{align}$
Selanjutya, nilai gaya dan panjang permulaan kedua kawat sama, maka bisa saling dieliminasi, sehingga persamaan menjadi:
$\begin{align}
& \frac{1}{{{A}_{A}}\cdot \Delta {{l}_{A}}}=\frac{1}{{{A}_{B}}\cdot \Delta {{l}_{B}}} \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{{A}_{B}}}{{{A}_{A}}} \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{\scriptstyle{}^{1}/{}_{4}}\pi {{d}_{B}}^{2}}{{\scriptstyle{}^{1}/{}_{4}}\pi {{d}_{A}}^{2}} \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{{d}_{B}}^{2}}{{{(2{{d}_{B}})}^{2}}}\mapsto ({{d}_{A}}=2{{d}_{B}}) \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{1}{4} \\
\end{align}$
Makara nilai $\Delta {{l}_{A}}:\Delta {{l}_{B}}=1:4$
Karena dua buah kawat sama-sama yang dibikin dari baja, maka
$\begin{align}
& {{E}_{1}}={{E}_{2}} \\
& \frac{F\cdot {{l}_{o}}}{{{A}_{1}}\cdot \Delta {{l}_{1}}}=\frac{F\cdot {{l}_{o}}}{{{A}_{2}}\cdot \Delta {{l}_{2}}} \\
\end{align}$
Selanjutya, nilai gaya dan panjang permulaan kedua kawat sama, maka bisa saling dieliminasi, sehingga persamaan menjadi:
$\begin{align}
& \frac{1}{{{A}_{A}}\cdot \Delta {{l}_{A}}}=\frac{1}{{{A}_{B}}\cdot \Delta {{l}_{B}}} \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{{A}_{B}}}{{{A}_{A}}} \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{\scriptstyle{}^{1}/{}_{4}}\pi {{d}_{B}}^{2}}{{\scriptstyle{}^{1}/{}_{4}}\pi {{d}_{A}}^{2}} \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{{{d}_{B}}^{2}}{{{(2{{d}_{B}})}^{2}}}\mapsto ({{d}_{A}}=2{{d}_{B}}) \\
& \frac{\Delta {{l}_{A}}}{\Delta {{l}_{B}}}=\frac{1}{4} \\
\end{align}$
Makara nilai $\Delta {{l}_{A}}:\Delta {{l}_{B}}=1:4$
4. Rangkaian Pegas dan Getaran Pegas
Pada gambar di atas sanggup dikenali nilai gaya pegas yang cocok dengan Hukum Hooke adalah:
${{F}_{p}}=k\cdot \Delta x$
dengan nilai $k$ merupakan konstanta pegas, $\Delta x$ merupakan pertambahan panjang pegas, dan ${{F}_{p}}$ merupakan gaya pegas. Maksud dari persamaan itu adalah, kalau suatu pegas dengan konstanta $k$ disimpangkan dari kondisi setimbang sejauh $\Delta x$, maka pegas itu memiliki gaya pegas sebesar ${{F}_{p}}$. Arah gaya pegas atau disebut juga gaya pemulih senantiasa menuju titik setimbang.
Pada kondisi tersebut, pegas juga memiliki energi berpotensi sebesar:
${{E}_{p}}=\frac{1}{2}\cdot {{F}_{p}}\cdot \Delta x$
dengan nilai ${{F}_{p}}=k\cdot \Delta x$, maka nilai energi berpotensi juga bisa dirumuskan sebagai:
${{E}_{p}}=\frac{1}{2}\cdot k\cdot \Delta {{x}^{2}}$
Beberapa versi soal fisika menggunakan variasi rangkaian pegas dalam suatu sistem. Nah, intinya ada 2 jenis rangkaian pegas, yakni rangkaian seri dan rangkaian paralel.
Gambar a merupakan rangkaian pegas seri. Pada rangkaian pegas seri, berlaku prinsip-prinsip berikut:
$\begin{align}
& \Delta {{x}_{s}}=\Delta {{x}_{1}}+\Delta {{x}_{2}} \\
& \frac{F}{{{k}_{s}}}=\frac{{{F}_{1}}}{{{k}_{1}}}+\frac{{{F}_{2}}}{{{k}_{2}}}\to (F={{F}_{1}}={{F}_{2}}) \\
& \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}} \\
\end{align}$
Gambar b merupakan rangkaian pegas paralel. Pada rangkaian pegas paralel, berlaku prinsip-prinsip berikut:
$\begin{align}
& F={{F}_{1}}+{{F}_{2}} \\
& {{k}_{p}}\cdot \Delta {{x}_{p}}={{k}_{1}}\cdot \Delta {{x}_{1}}+{{k}_{2}}\cdot \Delta {{x}_{2}}\to (\Delta {{x}_{p}}=\Delta {{x}_{1}}=\Delta {{x}_{2}}) \\
& {{k}_{p}}={{k}_{1}}+{{k}_{2}} \\
\end{align}$
Pada beberapa versi problem atau soal fisika SMA, rangkaian pegas tidak hanya tersusun seri atau paralel saja, namun ada yang merupakan susunan rangkaian campuran. Nah, rancangan inti dari metode rangkaian pegas merupakan kalau pegas tidak tunggal, maka konstanta elastisitas $k$ metode tersebut menggunakan konstanta pengganti dari seluruh pegas, menyesuaikan jenis rangkaiannya.
Sedikit kita diskusikan lagi wacana getaran harmonik pada pegas. Mengapa perlu dibahas, sebab beberapa versi soal HOTS fisika wacana pegas, dimungkinkan ada variasi antara rancangan rangkaian pegas, Hukum Hooke, getaran harmonik pegas, dan energi mekanik dalam getaran. Secara lebih rincian wacana getaran, akan dibahas dalam potongan getaran dan gelombang.
Nah, eksklusif saja kita mulai diskusikan rancangan getaran harmonik pegas. Dalam getaran, ada besaran dasar yang perlu dipahami, yakni frekuensi getaran, periode getaran, simpangan getaran, dan amplitudo getaran.
Gambar di atas menyediakan benda bermassa $m$ yang ditautkan pada pegas sedang bergetar harmonik. Pegas memiliki konstanta elastisitas sebesar $k$. Titik $O$ merupakan posisi kesetimbangan, titik $B$ merupakan posisi benda pada simpangan $x$, berikutnya titik $C$ dan $D$ merupakan posisi simpangan maksimum $A$ (amplitudo).
Frekuensi getaran dan periode getaran:
$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$ sebab nilai $T=\frac{1}{f}$, maka nilai $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Persamaan simpangan, kecepatan, dan percepatan:
$\begin{align}
& x=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
& v=\omega A\cos \left( \omega \cdot t \right) \\
& a=-{{\omega }^{2}}A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
\end{align}$ dengan nilai $\omega =2\pi \cdot f=\frac{2\pi }{T}$
Kekekalan Energi Mekanik berlaku pada getaran harmonik pegas. Artinya energi mekanik pada masing-masing posisi di $O$, $B$, $C$, dan $D$ senantiasa sama. Yang berlawanan merupakan nilai energi berpotensi pegas dan energi mekanik pada masing-masing titik tersebut.
Nilai energi mekanik pada getaran harmonik pegas merupakan ${{E}_{M}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$. Nilai ini didapatkan dikala posisi benda berada pada simpangan maksimum getaran. Makara di saat berada di simpangan maksimum, kecepatan getaran merupakan nol (berhenti sejenak) ${{E}_{k}}=0$ dan nilai energi berpotensi maksmum sebesar ${{E}_{p}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$. Sehingga nilai energi mekanik (jumlah dari ${{E}_{p}}$ dan ${{E}_{k}}$) merupakan $\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$.
Contoh Soal Rangkaian Pegas dan Getaran Pegas
(1). Tentukan nilai konstanta pegas dari metode pegas berikut ini kalau nilai $k=100{N}/{m}\;$!
Jawab:
$\begin{align}
& {{k}_{p1}}=k+k+k \\
& {{k}_{p1}}=3k \\
\end{align}$
$\begin{align}
& {{k}_{p2}}=k+k \\
& {{k}_{p2}}=2k \\
\end{align}$
Nilai konstanta pengganti sama dengan konstanta seri dari dua konstanta paralel di atas
$\begin{align}
& \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{{{k}_{p1}}}+\frac{1}{{{k}_{p2}}} \\
& \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{3k}+\frac{1}{2k} \\
& \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{2+3}{6k} \\
& {{k}_{s}}=\frac{6}{5}k=\frac{6}{5}\cdot 100=120{N}/{m}\; \\
\end{align}$
$\begin{align}
& {{k}_{p1}}=k+k+k \\
& {{k}_{p1}}=3k \\
\end{align}$
$\begin{align}
& {{k}_{p2}}=k+k \\
& {{k}_{p2}}=2k \\
\end{align}$
Nilai konstanta pengganti sama dengan konstanta seri dari dua konstanta paralel di atas
$\begin{align}
& \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{{{k}_{p1}}}+\frac{1}{{{k}_{p2}}} \\
& \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{1}{3k}+\frac{1}{2k} \\
& \frac{1}{{{k}_{s}}}=\frac{2+3}{6k} \\
& {{k}_{s}}=\frac{6}{5}k=\frac{6}{5}\cdot 100=120{N}/{m}\; \\
\end{align}$
(2). Benda yang bermassa 100 gram ditautkan pada pegas dengan konstanta $k$. Kemudian benda tersebut bergerak harmonik dengan amplitudo 12 cm dan periode 0,2 sekon. Saat benda berada pada simpangan setengah amplitudonya, besar gaya pemulih pegas tersebut adalah...
Jawab:
$\begin{align}
& A=12cm\to \Delta x=\frac{1}{2}A=6cm=0,06m \\
& T=0,2s\to m=100gr=0,1kg \\
\end{align}$
$\begin{align}
& T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\
& k=4{{\pi }^{2}}\frac{m}{{{T}^{2}}} \\
& k=4\cdot 3,{{14}^{2}}.\frac{0,1}{0,{{2}^{2}}} \\
& k\approx 97{N}/{m}\; \\
\end{align}$
$\begin{align}
& F=k\cdot \Delta x \\
& F=97\cdot 0,06 \\
& F=5,82N \\
\end{align}$
$\begin{align}
& A=12cm\to \Delta x=\frac{1}{2}A=6cm=0,06m \\
& T=0,2s\to m=100gr=0,1kg \\
\end{align}$
$\begin{align}
& T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\
& k=4{{\pi }^{2}}\frac{m}{{{T}^{2}}} \\
& k=4\cdot 3,{{14}^{2}}.\frac{0,1}{0,{{2}^{2}}} \\
& k\approx 97{N}/{m}\; \\
\end{align}$
$\begin{align}
& F=k\cdot \Delta x \\
& F=97\cdot 0,06 \\
& F=5,82N \\
\end{align}$
3. Pada dikala energi kinetik benda yang menjalankan gerak harmonik sederhana sama dengan energi potensialnya, maka sudut fasenya adalah...
Jawab:
${{E}_{p}}+{{E}_{k}}={{E}_{M}}$
dengan nilai ${{E}_{M}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$ dan nilai ${{E}_{p}}={{E}_{k}}$ maka:
$\begin{align}
& 2{{E}_{p}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}} \\
& 2\cdot \frac{1}{2}k\cdot \Delta {{x}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}} \\
& \Delta {{x}^{2}}=\frac{1}{2}{{A}^{2}} \\
& \Delta x=\frac{1}{2}\sqrt{2}A \\
\end{align}$
Nilai simpangan pada dikala ${{E}_{p}}={{E}_{k}}$ merupakan $x=\frac{1}{2}\sqrt{2}A$, kemudian substitusikan ke persamaan simpangan getaran:
$\begin{align}
& x=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
& \frac{1}{2}\sqrt{2}A=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
& \frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
& \left( \omega \cdot t \right)={{45}^{o}} \\
\end{align}$
Nah, nilai sudut fasenya merupakan sebesar $\left( \omega \cdot t \right)=\theta ={{45}^{o}}$
${{E}_{p}}+{{E}_{k}}={{E}_{M}}$
dengan nilai ${{E}_{M}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$ dan nilai ${{E}_{p}}={{E}_{k}}$ maka:
$\begin{align}
& 2{{E}_{p}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}} \\
& 2\cdot \frac{1}{2}k\cdot \Delta {{x}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}} \\
& \Delta {{x}^{2}}=\frac{1}{2}{{A}^{2}} \\
& \Delta x=\frac{1}{2}\sqrt{2}A \\
\end{align}$
Nilai simpangan pada dikala ${{E}_{p}}={{E}_{k}}$ merupakan $x=\frac{1}{2}\sqrt{2}A$, kemudian substitusikan ke persamaan simpangan getaran:
$\begin{align}
& x=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
& \frac{1}{2}\sqrt{2}A=A\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
& \frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin \left( \omega \cdot t \right) \\
& \left( \omega \cdot t \right)={{45}^{o}} \\
\end{align}$
Nah, nilai sudut fasenya merupakan sebesar $\left( \omega \cdot t \right)=\theta ={{45}^{o}}$
Untuk lebih mengerti rancangan elastisitas, gaya pegas, Hukum Hooke, dan rangkaian pegas, silakan temen-temen bisa menyaksikan soal latihan gaya pegas dan rangkaian pegas berikut ini.